2019/020) Express $sin ^7x$ as $a\sin7x+b\sin5x+c\sin3x+d\sin\,x$.

We have $\sin\,x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
To avoid fraction we have
$2i\sin\,x = e^{ix}-e^{-ix}$
Take power 7
$-128i\sin^7 x = (e^{ix}-e^{-ix})^7 = {7 \choose 0} e^{7ix} -   {7 \choose 1} e^{5ix} +  {7 \choose 2} e^{3ix} -  {7 \choose 3} e^{ix}$
                                                         $ +  {7 \choose  4} e^{-ix} -  {7 \choose 5} e^{-3ix} +  {7 \choose 6} e^{-5ix}  -  {7 \choose 7} e^{-7ix}$
$= {7 \choose 0} e^{7ix} -   {7 \choose 1} e^{5ix} +  {7 \choose 2} e^{3ix} -  {7 \choose 3} e^{ix}$
   $ +  {7 \choose  3} e^{-ix} -  {7 \choose 2} e^{-3ix} +  {7 \choose 1} e^{-5ix}  -  {7 \choose 0} e^{-7ix}$
$= {7 \choose 0} (e^{7ix} - e^ {-7ix}) -   {7 \choose 1} (e^{5ix} -  e^{-5ix})+  {7 \choose 2} (e^{3ix} - e^{-3ix}) -  {7 \choose 3} (e^{ix} - e^{-ix})$

so $-64\sin^7 x =  {7 \choose 0} \frac{(e^{7ix} - e^ {-7ix})}{2i} -   {7 \choose 1} \frac{(e^{5ix}-  e^{-5ix})}{2i} +  {7 \choose 2} \frac{(e^{3ix} + e^{-3ix})}{2i} -  {7 \choose 3}\frac{ (e^{ix} + e^{-ix})}{2i}$
 $= 1 \sin\, 7x  -   7 \sin\, 5x +  21 \sin\, 3x - 35 \sin\,x$
or $-64\sin^7 x = 1 \sin\, 7x  -   7 \sin\, 5x +  21 \sin\, 3x - 35 \sin\,x$

Hence
$\sin^7 x = - \frac{1}{64} \sin\, 7x  +\frac{7}{64}\sin\, 5x -  \frac{21}{64}\sin\, 3x + \frac{35}{64} \sin\,x$