2021/014) Given $x_1+ x_2+ x_3 =0$ and a is positive show that $log_2(1+a^{x_1}) + log_2(1+a^{x_2}) + log_2(1+a^{x_3}) >=3$

 We have 

 $(1+a^{x_1}) (1+a^{x_2}) (1+a^{x_3})= 1 + a^{x_1} + a^{x_2} + a^{x_3} +  a^{x_1+ x_2} + a^{x_2+ x_3 } + a^{x_3+ x_1 } + a^{x_1+x_2+ x_3}$

Applying AM GM inequality to  $1, a^{x_1}, a^{x_2}, a^{x_3},  a^{x_1+ x_2}, a^{x_2+ x_3 }, a^{x_3+ x_1 }, a^{x_1+x_2+ x_3}$ we get

$\frac{(1+a^{x_1}+  a^{x_2} + a^{x_3} +  a^{x_1+ x_2} + a^{x_2+ x_3 } + a^{x_3+ x_1 } + a^{x_1+x_2+ x_3}}{8}>=$

$\sqrt[8]{1*  a^{x_1}* a^{x_2}* a^{x_3}*  a^{x_1+ x_2}* a^{x_2+ x_3 }* a^{x_3+ x_1 }* a^{x_1+x_2+ x_3}}$ 

Or $\sqrt[8]{1*  a^{4x_1+4x_2+4x_3}}$ Or 1 as $a^{4x_1+4x_2+4x_3} = a^0 = 1$

Or $\frac{(1+a^{x_1}+  a^{x_2} + a^{x_3} +  a^{x_1+ x_2} + a^{x_2+ x_3 } + a^{x_3+ x_1 } + a^{x_1+x_2+ x_3}}{8}>= 1$

Or $(1+a^{x_1}+  a^{x_2} + a^{x_3} +  a^{x_1+ x_2} + a^{x_2+ x_3 } + a^{x_3+ x_1 } + a^{x_1+x_2+ x_3}>= 8$

Or  $(1+a^{x_1}) (1+a^{x_2}) (1+a^{x_3}) >=8$

Taking log to the base 2 we get the result