Q13/065) Show that ( sin x / sin 3x) + (sin 3x/ sin 9x) + ( sin 9x/ sin 27x) = ½( tan 27x – tanx)

we have tan 3x - tan x = sin 3x/ cos 3x - sin x/ cos x
= ( sin 3x cos x - cos 3x sin x)/ ( cos 3x sin x)
= sin 2x/( cos3x sin x)
= ( 2 sin x cos x)/(cos 3x sin x)
= 2 sin x / cos 3x
or sin x/ cos 3x = 1/2( tan 3x - tan x)  ..1

similarly s

sin 3x/ cos 9x = 1/2( tan 9x - tan 3x) ..2

sin 9x /cos 27 = 1/2( tan 27x - tan 9x) ..3

adding above 3 we get the result